TEOREMA DE LA DIVISIÓN DE LEMNISCATA

TEOREMA DE LA DIVISIÓN DE LEMNISCATA

En este artículo demostramos el Teorema de Abel para la lemniscata sin la ayuda de la teoría de las Funciones Elípticas y sin referencia alguna a la moderna Teoría de Campos. Los ingredientes esenciales de la demostración son las funciones lemniscáticas de Gauss y algunas nociones elementales sobre factorización en el anillo de los polinomios que tienen coeficientes racionales. El procedimiento es muy poderoso. En verdad, no solo probamos que la construcción geométrica es posible, sino que indicamos las operaciones algebraicas que realizan la construcción.

1. ABEL, N. H. Recherches sur les fonctions elliptiques. Journal für die reine und angewandte Mathematik, herausgeben von Crelle, Bd. 2, 3, Berlin, 1827-1828. Reimpreso en OEuvres complètes (1992), Tome 1, deuxième édition, Sceaux, Éditions Jacques Gabay: 263-388. Reimpresión autorizada de OEuvres complètes de Niels Hendrik Abel (1881), por Ludwig Sylow y Sophus Lie, Grøndahl & Søn, Christiania (Noruega), 1827.
2. GAUSS, C. F. Lemniscatische Functionen II. dargestellt durch undendliche Producte un durch trigonometrische Reihen (De curva lemniscata). Aparecido en Werke (1866), Dritter Band, Herausgeben von der Königliche Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen: 413-432, 1797.
3. GAUSS, C. F. Disquisitiones Arithmeticae. Lipsiae, In commissis apud Gerh. Fleischer. Reimpreso en Werke (1863), erster Band, Göttingen, Herausgeben von der Königliche Gesellschaft für Wissenschaften. Traducción inglesa (1986) de CLARKE, A. A., New York, Springer Verlag. Traducción española (1995) de BARRANTES, H., JOSEPHY, M. y RUIZ, A. Bogotá, Academia Colombiana de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales, 1801.
4. HERNÁNDEZ, U. y PALACIO, Oscar J. División de la lemniscata: geometría, análisis, álgebra. Ibagué, Colombia. Trabajo de Grado, Programa de Matemáticas con énfasis en Estadística, Facultad de Ciencias, Universidad del Tolima, 2009.
5. ROSEN, M. Abel’s Theorem on the Lemniscate. The American Mathematical Monthly, Vol. 88, Jun.-Jul., No. 6: 387-395, 1981.